오일러-매클로린 식
베르누이 다항식과 베르누이 수
베르누이 다항식Bernoulli polynomials $B_n(x)$이란 다음 생성함수를 통해 정의되는 다항식이다.
\[\frac{te^{xt}}{e^{t}-1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n(x)\frac{t^n}{n!}\]베르누이 다항식의 첫 다섯 항은 다음과 같다.
\[\begin{align*} B_0 (x) &= 1\\\ B_1(x) &= x-\frac{1}{2}\\\ B_2(x) &= x^2-x+\frac{1}{6}\\\ B_3(x) &= x^3-\frac{3}{2}x^2+\frac{1}{2}x\\\ B_4(x) &= x^4-2x^3+x^2-\frac{1}{30} \end{align*}\]베르누이 다항식을 이용하여 주기화된 베르누이 함수periodized Bernoulli function $\psi_k(x)=B_k(x-\lfloor x \rfloor )$를 정의할 수 있다.
베르누이 수Bernoulli number $B_n$이란 다음 생성함수를 통해 정의되는 수열이다.
\[\frac{t}{e^t -1}=\sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{ t^n}{n!}\]베르누이 수의 첫 0이 아닌 다섯 항은 다음과 같다.
\[B_0=1,\quad B_1=-\frac{1}{2},\quad B_2=\frac{1}{6},\quad B_4=-\frac{1}{30},\quad B_6=\frac{1}{42}\]성질
$B_n=B_n(0)$이다. 또한, 이 값은 $n$이 1이 아닌 홀수일 때 항상 $0$이다.
증명.
베르누이 다항식의 생성함수에 $x=0$을 대입하면 베르누이 수의 생성함수를 얻는다. 베르누이 수의 생성함수에 대하여,
\[\begin{align*} \frac{x}{e^x -1}-\frac{-x}{e^{-x}-1}&=\frac{x(e^x+e^{-x}-2)}{(e^x-1)(e^{-x}-1)}\\\ &=-x \end{align*}\]이므로, $n\neq 1$인 홀수일 때 $B_n$은 $0$이다. $\square$
$B_n(0)=(-1)^n B_n(1)$이다.
증명.
$B_n(1)$의 생성함수는 $\frac{te^t}{e^t-1}$이고, 따라서 $(-1)^n B_n(1)$의 생성함수는 $\frac{-te^{-t}}{e^{-t}-1}=\frac{-t}{1-e^t}$로 $B_n(0)$의 생성함수와 같다. $\square$
$B_n’(x)=nB_{n-1}(x)$이다.
따라서 $\psi_n’(x)=n\psi_{n-1}(x)$이다.
증명.
$B_n’(x)$의 생성함수는 $\frac{t^2 e^{xt}}{e^t-1}$이고, 이는 다음과 같이 전개된다.
\[\frac{t^2 e^{xt}}{e^t-1}=\sum_{n=0}^{\infty}B_n(x)\frac{t^{n+1}}{n!}=\sum_{n=1}^\infty nB_{n-1}(x)\frac{t^n}{n!}\]따라서 $B_n’(x)=nB_{n-1}(x)$이고, $B_0’(x)=0$이다. $\square$
후르비츠 제타 함수Hurwitz zeta function
\[\zeta(s,x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(x+n)^s}\]를 이용하여 베르누이 다항식을 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[B_n(x)=-n\zeta (1-n, x)\]따라서, 베르누이 수는 리만 제타 함수Riemann zeta function $\zeta(s)=\zeta(s,1)$ 를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[B_{n}=(-1)^{1-n} n\zeta(1-n)\]
$1$차 이상의 주기화된 베르누이 함수는 다음과 같은 급수 표현을 가진다.
\[\begin{align*} \frac{\psi_{2k}(x)}{(2k)!}&=(-1)^{k-1}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\cos(2n\pi x)}{(2n\pi)^{2k}}\\\ \frac{\psi_{2k+1}(x)}{(2k+1)!}&=(-1)^{k-1}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\sin(2n\pi x)}{(2n\pi)^{2k+1}}\\\ \end{align*}\]
오일러-매클로린 식
정수 $a,b\in \mathbb{Z}$와 함수 $f:[ a,b ]\rightarrow \mathbb{R}$에 대하여, $f\in C^k([a, b])$일 때 다음이 성립한다.
\[\sum_{a < i \leq b}f(i) - \int_a^b f(x) dx=\left[\sum_{i=1}^k \frac{(-1)^i}{i!}\left( f^{(i-1)}(b)-f^{(i-1)}(a)\right)B_i \right]+ R_k\]이 때, 나머지 항 $R_k$는 다음과 같이 쓰여진다.
\[R_k=-\int_a^b \frac{(-1)^k}{k!}\psi_k(x) f^{(k)} (x)dx\]이를 오일러-매클로린 식Euler-Maclaurin formula이라 한다.
증명.
$k=1$이라 하자. 아벨의 부분합 공식Abel partial summation formula
\[\sum_{i=m}^n (a_{k+1}-a_k)b_k = a_{n+1}b_{n+1}-a_m b_m -\sum_{k=m}^n a_{k+1}(b_{k+1}-b_k)\]를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.
\[\begin{align*} \sum_{a< n \leq b} f(n)&=(b-a-1) f(b)+f(a)-\sum_{a\leq n\leq b-1} (n-a-1)(f(n+1)-f(n))\\\ &=(b-a-1) f(b)+f(a)-\sum_{a\leq n\leq b-1} (n-a-1)\int_n^{n+1} f'(t)dt\\\ &=(b-a-1) f(b)+f(a)-\sum_{a\leq n\leq b-1} \int_n^{n+1} (\lfloor t\rfloor - a-1)f'(t)dt\\\ &= bf(b)-af(a)-\int_a^b (t-(t-\lfloor t\rfloor))f'(t)dt\\\ \end{align*}\]부분적분을 이용하여,
\[\begin{align*} \sum_{a< n \leq b} f(n)&= \int_a^b f(t) dt + \int_a^b(t-\lfloor t\rfloor )f'(t)dt\\\ &=\int_a^b f(t)dt + \int_a^b \psi(t) f'(t) dt +\frac{1}{2}(f(b)-f(a))\\\ &=\int_a^b f(t)dt + \frac{1}{2}(f(b)-f(a))+R_1 \end{align*}\]$k>1$의 경우, 귀납법을 사용한다. 귀납 가정에 의하여 다음을 알고 있다.
\[R_{k-1}=-\int_a^b \frac{(-1)^{k-1}}{(k-1)!}\psi_{k-1}(x)f^{(k-1)}(x)dx\]이를 부분적분하면 다음을 얻는다.
\[R_{k-1}=\frac{(-1)^{k}}{k!}\left.\psi_{k}(x) f^{(k-1)}(x)\right\rvert_a^b-\int_a^b \frac{(-1)^{k}}{k!}\psi_{k}(x) f^{(k)}(x)dx\]뒤의 항은 $R_k$이고, 앞의 항은
\[\frac{(-1)^k}{k!}B_k \left(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a)\right)\]이며, 이는 $k$차 오일러-매클로린 급수 항이다. $\square$
응용
스털링 근사
다음이 성립한다.
\[\log n!=n\log n-n+\frac{1}{2}\log 2\pi n+\mathcal{O}(n^{-1})\]이를 스털링 근사Stirling approximation이라 한다.
증명.
$f(x)=\log x$로 두고, $k=1, a=1, b=n\in \mathbb{N}$이라 두면,
\[\log n!=\sum_{i=1}^n \log i = n\log n - n + 1 + \frac{\log n}{2}+\int_1^n \frac{\psi_1(t)}{t} dt\]여기서, 부분적분을 이용해
\[\int_1^n \frac{\psi_1(t)}{t}dt=\left.\frac{\psi_2(t)}{2t}\right\rvert_1^n+\int_1^n \frac{\psi_2(t)}{2t^2}dt\]를 얻는다. $\psi_2(t)$의 급수 표현으로부터 $\lvert\psi_2(t)\rvert<\infty$임을 알 수 있고, 따라서 위의 적분값 또한 모든 $n$에 대하여 유한함을 알 수 있다. 그러므로 $\log n$차수까지 다음을 얻는다.
\[\log n!=n\log n-n+\frac{1}{2}\log n+\mathcal{O}(1)\]조금 더 정확하게, 다음이 성립한다.
\[\lim_{n\rightarrow \infty}\int_1^n \frac{\psi_1(t)}{t} dt + 1 = \log \sqrt{2\pi}\]따라서 다음을 얻는다.
\[\log n!=n\log n-n+\frac{1}{2}\log 2\pi n+\mathcal{O}(n^{-1})\]$\square$
파울하버의 식
모든 $p>1$에 대하여, 다음이 성립한다.
\[\sum_{k=1}^n k^p = \frac{n^{p+1}}{p+1}+\sum_{k=1}^p (-1)^k\frac{B_k}{k!}\frac{p!}{(p-k+1)!}n^{p-k+1}\]이를 파울하버의 식Faulhaber formula이라 한다.
증명.
$f(x)=x^p$로 두고, $k=p$, $a=0$, $b=n\in \mathbb{N}$으로 두면,
\[\sum_{k=1}^n k^p=\int_0^n x^p dx+\left[\sum_{i=1}^k \frac{(-1)^i}{i!}\frac{p!}{(p-i+1)!}n^{p-i+1} B_i\right]+R_k\]여기서,
\[R_k=-\int_a^b \frac{(-1)^k}{k!}\psi_p(x)dx=0\]이고, 첫 항은 $\frac{n^{p+1}}{p+1}$이므로 준식이 성립한다. $\square$