호몰로지 긴 완전열
목차
정리
호몰로지 긴 완전열Homology long exact sequence. 아벨 범주Abelian category $\mathcal{C}$와 그 위의 사슬 복합체 범주 $\mathrm{Ch}_\bullet(\mathcal{C})$를 생각하자. 사슬 복합체 사이의 짧은 완전열
\[\require{AMScd}\begin{CD} 0 @> > > A_\bullet @>f> > B_\bullet @>g> > C_\bullet @> > > 0 \end{CD}\]에 대하여, 다음이 긴 완전열이다.
\[\require{AMScd}\begin{CD} \cdots @> > > H_{n+1}(C) @>\partial> > H_n(A) @>f_{*}> > H_n(B) @>g_{*}> > H_n(C) @>\partial> > \cdots \end{CD}\]
증명.
뱀 보조정리snake Lemma와 프레이드-미첼 매장 정리Freyd-Mitchell embedding theorem를 이용한다. $R-\mathrm{mod}$ 위의 사슬 복합체 사이의 짧은 완전열에서 다음 그림을 그릴 수 있다.
\[\require{AMScd}\begin{CD} 0 @> > > A_{n+1} @> > > B_{n+1} @> > > C_{n+1} @> > > 0\\ @. @VdVV @VdVV @VdVV @.\\ 0 @> > > A_n @> > > B_n @> > > C_n @> > > 0\\ @. @VdVV @VdVV @VdVV @.\\ 0 @> > > A_{n-1} @> > > B_{n-1} @> > > C_{n-1} @> > > 0 \end{CD}\]여기에 뱀 보조정리를 두 번 적용하면, 다음 그림에서 가로열이 모두 완전열임을 알 수 있다.
\[\require{AMScd}\begin{CD} @. A_n/d(A_{n+1}) @> > > B_n/d(B_{n+1}) @> > > C_n/d(C_{n+1}) @> > > 0\\ @. @VdVV @VdVV @VdVV @.\\ 0 @> > > d(A_{n}) @> > > d(B_{n}) @> > > d(C_{n}) @. \end{CD}\]$d:A_n/d(A_{n+1})\rightarrow d(A_{n-1})$의 핵kernel이 $Z_n/B_n=H_n(A)$이고 여핵cokernel이 $Z_{n-1}/B_{n-1}=H_{n-1}(A)$이므로, 뱀 보조정리를 다시 적용하면 명시된 긴 완전열을 얻는다. $\square$
코호몰로지
주어진 증명에 쌍대를 취하면, 주어진 공사슬 복합체cochain complex 사이의 짧은 완전열
\[\require{AMScd}\begin{CD} 0 @> > > A_\bullet @>f> > B_\bullet @>g> > C_\bullet @> > > 0 \end{CD}\]에 대하여, 다음이 긴 완전열임을 알 수 있다.
\[\require{AMScd}\begin{CD} \cdots @> > > H^{n-1}(C) @>\partial> > H^n(A) @>f_{*}> > H^n(B) @>g_{*}> > H^n(C) @>\partial> > H^{n+1}(A)@> > > \cdots \end{CD}\]마이어-비토리스 열
호몰로지 긴 완전열을 이용하면 공간 $X$의 호몰로지 군을 더 작은 공간 $A,B$와 그 교집합 $A\cap B$의 호몰로지 군으로 나타낼 수 있다. 즉, $A,B$가 $X$의 부분 공간이고, $A,B$의 내부interior가 $X$를 덮을 때, 다음이 긴 완전열이다.
\[\require{AMScd}\begin{CD} \cdots @> > > H_{n+1}(X) @>\partial> > H_n(A\cap B) @>(i_{*},j_*)> > H_n(A)\oplus H_n(B) @>k_*-l_*> > H_n(X) @>\partial> >\cdots \end{CD}\]여기서 $i:A\cap B\hookrightarrow A$, $j:A\cap B\hookrightarrow B$, $k:A\hookrightarrow X$, $l:B\hookrightarrow X$이다. 이 긴 완전열을 마이어-비토리스 열Mayer-Vietoris sequence라 한다.
$A\cap B$가 경로 연결 공간일 때, 마이어-비토리스 열에서 $H_1(X)\simeq H_1(A)\oplus H_1(B)/\mathrm{Im}(i_{ * },j_{ * })$를 얻는다. 이는 자이페르트-반 캄펀 정리Seifert-van Kampen theorem의 아벨화로 볼 수 있다.