뱀 보조정리

• 정리
• 호몰로지 긴 완전열
• 참고

프레이드-미첼 매장 정리^{Freyd-Mitchell embedding theorem}에 의하여, $\mathcal{C}$가 $R-\textrm{mod}$인 경우만을 증명하면 된다. $R-\textrm{mod}$의 경우 그림을 따라가며 증명할 수 있다.

$\partial=i^{-1}\circ g\circ p^{-1}$로 두고, $c’\in \mathrm{Ker}(h)$를 잡는다. $h(c’)=0$이므로 $g\circ p^{-1}(c’)\in\mathrm{Im}(A\rightarrow B)$이다. $i$가 단사 함수^injective이므로 $i^{-1}\circ g\circ p^{-1}(c’)$은 존재한다. $p(b)=p(b’)=c$라 하면, $p(b-b’)=0$이므로, $A’\rightarrow B’$가 $a$를 $b-b’$로 보내는 $a\in A’$가 존재한다. 그림의 가환성으로 $f(a)=i^{-1}\circ g(b-b’)$임을 알 수 있고, 이는 $\mathrm{coKer}(A)$에서 0이므로 $\partial$은 잘 정의된다.

이제 위의 열이 $\mathrm{Ker}(h)$와 $\mathrm{coKer}(f)$에서 완전열이 됨을 보이면 되고, 이 둘은 쌍대 관계에 있으므로 하나만 증명하면 된다. $c\in \mathrm{Ker}(\partial)$이면 $g\circ p^{-1}(c)=0$이고, $b\in p^{-1}(c)$일 때 $b\in \mathrm{Ker}(g)$이고 $p(b)=c$이므로 $c\in \mathrm{Im}(\mathrm{Ker}(g)\rightarrow \mathrm{Ker}(h))$이다. 반대로 $c\in \mathrm{Im}(\mathrm{Ker}(g)\rightarrow \mathrm{Ker}(h))$이고 $b\in \mathrm{Ker}(g)$가 $p(b)=c$를 만족시킬 때, $i^{-1}\circ g\circ p^{-1}(c)=i^{-1}\circ g(b)=i^{-1}(0)=0$이다.

$A’\rightarrow B’$가 단사이면 $a\mapsto 0$일 때 $a=0$이다. 따라서 $a\in \mathrm{Ker}(f)$일 때 $a\mapsto 0$이 $a=0\in \mathrm{Ker}(f)$를 뜻하므로, $\mathrm{Ker}(f)\rightarrow \mathrm{Ker}(g)$는 단사이다. 남은 하나는 쌍대 관계로 증명된다. $\square$