임계 지수
임계 지수critical exponent란 물리적인 값들이 이차 상전이second order phase transition의 임계점critical point 근방에서 보이는 추세를 나타내는 값이다.
임계 온도critical temperature $T_c$를 가지는 계에서 환산온도reduced temperature를 다음과 같이 쓰자.
\[\tau\colon = \frac{T-T_c}{T_c}\]이 때 환산온도에 의존하는 물리량 $f(\tau)$의 임계 지수 $k$는 다음과 같이 정의된다.
\[k\colon = \lim_{\tau\rightarrow 0}\frac{\log |f(\tau)|}{\log|\tau|}\]곧, $\tau=0$, 즉 $T=T_c$ 근방에서 $f\sim \tau^k$로 표현된다.
임계 온도 이전과 이후에서, 즉 $\tau>0$과 $\tau<0$에서의 임계 지수가 다를 수 있다. 이 경우 임계 지수는 $\tau\rightarrow 0^{\pm}$으로 향하는 극한으로 정의된다.
임계 지수는 반드시 온도에 관련하여 정의되는 것은 아니고, 임계 온도 $T=T_c$ 상에서 물리량의 추세를 나타내는 임계 지수 또한 존재한다.
주로 사용되는 임계 지수
일반적으로 다음과 같은 임계 지수가 주로 정의된다.
\[\begin{align*} C & \sim |T-T_c|^{-\alpha}\\ |M| & \sim |T-T_c|^\beta\\ \chi & \sim |T-T_c|^{-\gamma}\\ |M| & \sim |B|^{1/\delta}\\ G(x) & \sim |x|^{2-D-\eta}\\ \xi & \sim |T-T_c|^{-\nu}\\ \end{align*}\]여기서 $C$는 열용량heat capacity, $M$은 자화량magnetization, $\chi$는 감수율susceptibility, $G(x)$는 상관 함수correlation function이다. $D$는 계의 차원이다.
재규격화 이론renormalization theory을 통해 임계 지수들 사이에 다음과 같은 관계가 성립함을 알 수 있다.
\[\begin{align*} \alpha &= 2-\nu D\\ \beta & =\frac{\nu}{2}(D-2+\eta)\\ \gamma & =\nu(2-\eta)\\ \delta & =\frac{D+2-\eta}{D-e+\eta} \end{align*}\]즉, 모든 임계 지수는 두 개의 임계 지수 $\eta,\nu$와 차원 $D$로부터 유도할 수 있다.